基本公式

1. 欧拉公式

$$cosωt=\frac 1 2(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t})
$$
$$
sinωt=\frac 1{2j}(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t})
$$

2.积化和差

$$
cos\alpha\cdot cos\beta=\frac 12[sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)]
$$
$$
sin\alpha\cdot sin\beta=-\frac 12[cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)]
$$
$$
sin\alpha\cdot cos\beta=\frac 12[sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)]
$$
$$
cos\alpha\cdot sin\beta=\frac 12[sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\beta)]
$$

3. 卷积

时域卷积

$$f_1(t)*f_2(t)\leftrightarrow F_1(\omega)F_2(\omega)$$

频域卷积

$$f_1(t)f_2(t)\leftrightarrow \frac 1{2\pi}[F_1(\omega)*F_2(\omega)]$$

函数与冲激函数卷积

$$f(t)*\delta(t)=\int_{-\infty}^\infty f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau=f(t)$$

$$
F(\omega)*\delta(\omega-\omega_0)
$$

傅里叶变换基本特性

频移

时间函数频谱函数
时间$$\frac 12$$
$$\frac 45$$tie